211行目あたりに以下を追加してはどうでしょうか。

$reldateregex = New-Object System.Text.RegularExpressions.Regex 'nw.*(20[0-9]{2}\/[0-9]{2}\/[0-9]{2})', Singleline
$reldate = $reldateregex.Matches($pkgdetail)

if($reldate.Count -gt 0)
{
$result[$index]["releasedate"] = $reldate[0].Groups[1].Value -replace '/','.'
}

あとは331行目のファイル名決定部分で

$pkgfilename = "$productcode $pkgtitle $cast" + $title["releasedate"]

とかでいけるんじゃないかと。
テストしてないので細かいことはわかりません。

〔ツリー構成〕

【1864】 DMM スクリプトに発売日を 2020/1/24(金)11:53 くぁｚ (124)

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┣【1867】 re(3):DMM スクリプトに発売日を 2020/1/27(月)12:24 くぁｚ (148)